网球是一项优美而激烈的体育运动，通常在两个单打球员或两队双打组合之间进行。现代网球运动诞生于19 世纪的英国伯明翰， 在20 世纪中，网球在世界各地得到广泛发展，并成为一项世界性的体育运动，最受关注的网球比赛则是每年举办的网球四大满贯赛事。

本文依照网球发球过程单次博弈过程，进而分析有限次博弈过程中每次发球的时间间隔对比赛结果的影响以及发球过程中方式转换。

1. 单次博弈中网球发球策略的博弈分析

参与人1 与参与人2 在参赛前属于两个博弈主体，他们之间的博弈属于完美记忆博弈，也就是在博弈过程中，每个参与者都不会忘记曾经执导的任何信息，清楚他们前面所作选择的行动。这也是体育博弈论的精髓，采用相对应的策略对应对方的策略，其中，发球在网球比赛过程中是完美博弈过程的充分体现。每个人都有最适合自己的抛球高度，最适合自己的击球点，这和身高是没关系的， 当然，高个子发球天生就有优势，因为他发球点高。每个网球运动员都有自己的习惯，如纳达尔左手持拍，球风刚猛凌厉，跑动能力极强；费德勒正反手平衡，恰到时机的上网拦截，让对手很难找到真正的空隙；德约科维奇灵活的步伐，稳定伪底线相持，出色的二发技术。

在网球竞赛中，发球的策略最为重要，但不能采用单一的比赛策略，选择单一的模式往往是愚蠢的，也是不可能成功的。猜对对方发球过程中运用左手还是右手是制胜的法宝，假设两名运动员A 和B，下面我们运用矩阵来 

图1 单次博弈中网球发球模型分析

2 . 基于有限次重复博弈的网球发球模型分析

如图1 所示，网球发球过程单次博弈对双方球员只是一个熟悉的过程，虽然在之前对对方的了解已经很充分，但在比赛过程中还是需要当时的场景做出自己的判断，假如运动员每次的行为只依赖当前行为，记为，对所有参与人都用同样的贴现因子来贴现其未来收益。我们希望考察均衡收益是如何随着期界T 变化的。也就是每个运动员在单次博弈后进入下次博弈时的间隔时间。为了使不同期界的收益之间具有可比性，我们用同样的单位对煤气收益进行标准化表示，因此，一个行动序列的（标准化）收益是： 

这被称作“平衡贴现收益”。因此标准化只是改变了权重，因而标准化形式和现值形式都代表了同样的偏好。通过把所有的收益用同期平均收益来度量，标准化的形式更容易揭示出当贴现因子和期界发生变化时而产生的变化。例如，从0 期到T 期每期收益为1 的现值为；而这一收益流的平均贴现值为1。

我们从博弈只进行一次的情形开始。这时，猜对对方的发球方式使绝对优势策略，纳什均衡点在猜对对方反手发球；如果博弈进行有限次，随着双方运动员与体力的消耗，那么子博弈完美要求最后的一次发球必然是反手发球，这样才能在较量中得到优势。根据逆向递推法，则唯一的子博弈完美博弈均衡就是猜对发球方每次都选择反手发球。

不过网球发球博弈中也存在另外一种子博弈完美均衡：“开始时发球方采用正手发球，只要发球方一直赢的状态下，发球方会一直采用正手发球，直到有一次征收发球失败，在以后的博弈过程中， 一直采用反手发球。”使用这样的策略，就会面临两类子博弈：A 类是接球方无论猜对与否都没有赢得发球方，B 类是在第i 次开始接球方赢得对方，使得发球方在下次发球时反手发球。如果一个运动员在A 类的每个子博弈都执行这一策略，则他的平均贴现收益是1；但如果他在时间t 偏离这一策略，并在此后（一直在B 类子博弈中）都执行此策略，那么他的（标准化）收益是： 

当时，显然其（标准化）收益小于1。对于B 类子博弈中的任何历史ht，从t 期往后一直奉行这一策略的收益是0，偏离一次后再奉行该策略，在t 期收益为-1，以后仍然是0。因此，在任何子博弈中，没有参与人可以从偏离一次后再奉行这一特定策略中获得好处，根据单阶段偏离条件，这一策略组合也就形成一个子博弈完美均衡。

3. 结论与讨论

随着贴现因子大小的变化，可能会有许多其他的完美均衡。有耐心的参与人之间的重复博弈不仅可以使合作意味着有效的收益成为可能，而且也导致了更多其他均衡结果。如果我们固定一个纳什均衡（如A 类纳什均衡），发球方在最后一期T 必定实施欺骗， 因为对实施A 类时任何以正概率出现的历史hT，欺骗都将提高他在第T 期的收益而且也没有遭受失败的可能。因此，我们可以知道， 在网球发球过程中，运动员不可能遵循单一的发球方式，接球方也不可能采用固定不变的方式。

参考文献： 

[1] 李益群，谢亚龙. 体育博弈论[M]. 北京体育大学出版社， 2002.

[2] Fudenberg,Tirole.Game Theory[M].Beijing:China Renmin University Press,2010. 

[3] 王成夫. 试论体育博弈论的理论基础[J]. 武汉体育学院学报，2000. 

[4] 罗强，武振盛.“囚徒困境”与网球比赛中发球策略的博弈分析[J]. 文化教育，2005.